Question

如图，四面体ABCD中，点A在平面BCD上的射影O在BD上，点M、N分别是BC、BD的中点，AM与平面BCD成45°角，BC⊥CD，∠BDC=30°，BC=2，BO=1
（1）求证：MN∥平面ACD；
（2）求CA与平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由题设条件推导出MN是△BCD的中位线，由此能证明MN∥平面ACD．
（2）以O为原点，OB为x轴，以OC为y轴，以OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-D的大小．

解答： 解：（1）∵点M、N分别是BC、BD的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥CD，
∵CD不包含于平面ANM，MN?平面ANM，
∴MN∥平面ACD．
（2）以O为原点，OB为x轴，以OC为y轴，以OA为z轴，
如图建立空间直角坐标系，
∵AM与平面BCD成45°角，BC⊥CD，∠BDC=30°，BC=2，BO=1，
∴O（0，0，0），A（0，0，

3

），B（1，0，0），C（0，

3

，0），D（-1，0，0），
∵AO⊥平面OCD，
∴平面BCD的法向量

AO

=（0，0，-

3

），
设平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），

AB

=（0，1，-

3

），

BC

=（-1，

3

，0），
由

n • AB =0 n • BC =0

，得

x- 3 z=0 -x+ 3 y=0

，

n

=（

3

，1，1），
设

n

与

AO

夹角为θ，
则cosθ=|

n • AO

| n |•| AO |

|=

5

5

，
∴sinθ=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

．
∴二面角A-BC-D的正弦值为

2 5

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．