Question

求函数y=

2-cosx

sinx

（0＜x＜π）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：数形结合,换元法

分析：本题考查的是含有三角函数式子的值域问题，可以利用三角函数的有界性来解，也可以利用函数的单调性来解，还可能采用换元的方法解．

解答： 解：将式子两边平方得y2=(

2-cosx

sinx

)2化简得（y²+1）cosx²-4cosx+4-y²=0，
令t=cosx，则t∈（-1，1），f（t）=（y²+1）t²-4t+4-y²，对称轴t=

2

y2+1

＞0
所以要使方程在区间（-1，1）上有根，必需满足

△=16-4(y2+1)(4-y2)≥0 f(-1)=y2+1+4+4-y2＞0

解得y²≥3，又y＞0，所以y≥

3

．
故答案为：[

3

，+∞)．

点评：这里是采用了换元的方法求解的，先将式子两边同时平方，将正弦函数转换成余弦函数，再利用换元的方法求出函数的值域．在求函数的值域的问题中这类题属于较难的了．