Question

已知抛物线 x²=y，直线L经过点A（-1，2）但不经过点B（1，1），与抛物线交于M，N两点，点M的横坐标大于1，直线L的斜率为k，直线BN，BM的斜率分别为k₁，k₂．
（1）当AB垂直于直线L时，求 k₁．k₂的值．
（2）设△BAM和△BAN的面积分别为S₁，S₂，当k≤1时，求

S1

S2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线L的斜率及其方程，进而与抛物线的方程联立可得交点M，N的坐标，再利用斜率计算公式即可得出；
（2）把直线L的方程与抛物线的方程联立可得交点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式可得

S1

S2

=

|AM|

|AN|

=

(x1+1)2+(y1-2)2

(x2+1)2+(y2-2)2

，由k的取值范围即可得出．

解答： 解：（1）kAB=

2-1

-1-1

=-

1

2

，
∵AB⊥L，
∴k_AB•k_L=-1，∴k_L=2．
∴直线L的方程为：y-2=2（x+1），化为2x-y+4=0．
联立

y=x2 2x-y+4=0

，解得

x=1+ 5 y=6+2 5

，

x=1- 5 y=6-2 5

．
∴M(1+

5

，6+2

5

)，N(1-

5

，6-2

5

)．
∴k₁=

6-2 5 -1

1- 5 -1

=2-

5

，k₂=

6+2 5 -1

1+ 5 -1

=2+

5

．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线L的方程为y-2=k（x+1），化为y=kx+k+2．
联立

y=kx+k+2 y=x2

，化为x²-kx-k-2=0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-k-2．
x=

k± k2+4k+8

2

，
∵x₁＞1，
∴x1=

k+ k2+4k+8

2

，x2=

k- k2+4k+8

2

．
由x1=

k+ k2+4k+8

2

＞1，化为

k2+4k+8

＞2-k，又k≤1，
解得1≥k＞-

1

2

．
∴

S1

S2

=

|AM|

|AN|

=

(x1+1)2+(y1-2)2

(x2+1)2+(y2-2)2

=

(x1+1)2+(kx1+k)2

(x2+1)2+(kx2+k)2

=

|x1+1|

|x2+1|

=

k2+4k+8 +k+2

k2+4k+8 -k-2

=

k2+4k+6+(k+2) k2+4k+8

2

=f（k），
∵-

1

2

＜k≤1，∴f（k）单调递增．
∴f(-

1

2

)＜f(k)≤f(1)，
即4＜f(k)≤

11+3 3

2

．

点评：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交转化为的方程联立可得交点的坐标、斜率计算公式、两点间的距离公式、函数的单调性，属于难题．