Question

（1）已知不等式2x-1＞m（x²-1）对任意m∈[-2，2]恒成立，求x的取值范围；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x²-1）对任意x∈[-2，2]恒成立．若存在，试求出m的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数思想,转化思想

分析：（1）不等式对任意m恒成立，可把m看作变量，x为常数，构造一次函数f（m），根据其单调性得到不等式组，再解出即可；
（2）先假设存在这样的m，然后根据x为变量，m为常数，构造函数f（x），对m=0，m＞0，m＜0讨论，注意对称轴与区间的关系，以及端点的函数值的符号，列出不等式组，解出它们，最后求并集，从而加以判断存在性．

解答： 解：（1）不等式2x-1＞m（x²-1）即2x-1-m（x²-1）＞0，
令f（m）=2x-1-m（x²-1）=（1-x²）m+2x-1，m∈[-2，2]，
要使原不等式对任意m∈[-2，2]恒成立，即f（m）＞0对m∈[-2，2]都成立，
所以

f(-2)＞0 f(2)＞0

即

2x2+2x-3＞0 2x2-2x-1＜0

即

x＞ -1+ 7 2 或x＜ -1- 7 2 1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2

，
所以

7 -1

2

＜x＜

3 +1

2

，
即x的取值范围是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）．
（2）假设存在m使得不等式2x-1＞m（x²-1）对任意x∈[-2，2]恒成立，
令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+m-1，x∈[-2，2]，
要使原不等式对任意x∈[-2，2]恒成立，即f（x）＞0对x∈[-2，2]都成立，
当m=0时，f（x）=2x-1，在-2≤x≤

1

2

时，f（x）≤0，在

1

2

＜x＜2时，f（x）＞0，
故不满足题意，舍去；
当m≠0时，f（x）只需满足下式：

-m＞0，(m＜0) 1 m ≤-2 f(-2)＞0

或

-m＞0 -2＜ 1 m ＜2 4+4m(m-1)＜0

或

-m＜0，(m＞0) f(2)＞0 f(-2)＞0

，
即

m＜0 - 1 2 ≤m＜0 m＜- 5 3

或

m＜0 -2＜ 1 m ＜2 m∈∅

或

m＞0 m＜1 m＜- 5 3

，
解得结果为空集，故不存在m使得不等式2x-1＞m（x²-1）对任意x∈[-2，2]恒成立．

点评：本题主要考查转化思想，即确定主元，同时考查构造函数思想，应用函数的性质解决，解题时还应对参数进行讨论，是一道很好的题目，属于中档题．