Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD=

1

2

AD，求二面角D-BM-P的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，先证明BD⊥底面PDC，然后利用线面垂直的性质证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：由余弦定理得BD=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴BD²+AB²=AD²，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥CD，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PD，
又PD∩DC=D，
∴BD⊥底面PDC，
又PC?面PDC，
∴BD⊥PC；
（Ⅱ）解：已知AB=1，AD=CD=2，PD=

3

，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，
以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图：
则D（0，0，0），B（

3

，0，0），P（0，0，

2

），M（0，1，

2

2

），
则

DB

=（

3

，0，0），

DM

=（0，1，

2

2

），

CP

=（0，-2，

2

），

CB

=（

3

，-2，0），
设平面BDM的法向量为

m

=（x，y，z），则

x=0 y+ 2 2 z=0

令z=

2

，则y=-2，可取

m

=（0，-1，

2

），
同理设平面BMP的法向量为

n

=（

2 3

3

，1，

2

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

13

13

，
∴求二面角D-BM-P的余弦值为

13

13

．

点评：本题主要考查线面垂直的性质，以及空间二面角的大小，利用向量法解决空间角的关键是求出平面的法向量．