Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点T(

2

，-

6

2

)，其离心率为

1

2

，右顶点为A，右焦点为F（c，0），直线x=

a2

c

与x轴交于B，过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，点P为点M关于直线x=

a2

c

的对称点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BNM的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点T(

2

，-

6

2

)，其离心率为

1

2

，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，证明

BP

，

BN

共线，可得N、B、P三点共线；
（3）分类讨论，表示出△BNM的面积，即可求△BNM的面积的最大值．

解答： （1）解：根据题意得

( 2 )2 a2 + (- 6 2 )2 b2 =1 a2-b2 a = 1 2

⇒

a2=4 b2=3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设直线l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∵P（8-x₁，y₁），
∴

BP

=（4-x₁，y₁），

BN

=（x₂-4，y₂），
∴（4-x₁）y₂）-（x₂-4）y₁=4k（x₁+x₂-2）-2kx₁x₂+k（x₁+x₂）
=4k（

8k2

3+4k2

-2）-2k•

4k2-12

3+4k2

+k•

8k2

3+4k2

=0
当l⊥x轴时，也满足，
故

BP

，

BN

共线，
∴N、B、P三点共线；
（3）解：记d为B到l的距离，则d=

3|k|

1+k2

，
∴S=

1

2

d|MN|=

1

2

•

3|k|

1+k2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

9

2

1- 8k2+9 16k4+24k2+9

＜

9

2

当l⊥x轴时，S=

9

2

，
∴△BMN的面积的最大值为

9

2

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．