Question

如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：FG∥平面PED；
（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小

解答： （1）证明：∵F，G分别为PB，BE的中点，
∴FG∥PE，
∵FG?平面PED，PE?平面PED，
∴FG∥平面PED；
（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵AD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1   
∵AD=PD=2EA，
∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），
∴

PB

=（2，2，-2），

PC

=（0，2，-2）．
∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，
∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），
∴

GF

=（-1，0，0.5），

GH

=（-2，0，0.5）
设

n1

=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则

-x+0.5z=0 -2x+0.5z=0

，
得

n1

=（0，1，0）
同理可得平面PBC的一个法向量为

n2

=（0，1，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2

2

，
∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．