Question

如图，多面体ABCDEF中，BA，BC，BE两两垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，由已知条件能推导出四边形CDHG是平行四边形，由此能证明CG∥平面ADF．
（Ⅱ）以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出直线CG与平面ADF所成的角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，
则有AG=GM，MF

∥ .

.

BE．
∵AH=HF，
∴GH

∥ .

.

1

2

MF…（2分）
又∵CD

∥ .

.

1

2

BE，BE

∥ .

.

MF
∴CD

∥ .

.

GH
∴四边形CDHG是平行四边形
∴CG∥DH…（4分）
又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF
∴CG∥平面ADF…（6分）
（Ⅱ）如图，以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
∵AB=BE=2，BC=CD=EF=1，
∴A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），
E（0，2，0），F（0，2，1），
∴

DE

=(-1，1，0)，

DA

=(-1，-1，2)，

FA

=(0，-2，1)…（7分）
设平面ADF的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则有

n • DA =-x-y+2z=0 n • FA =-2y+z=0

，化简，得

x=3y z=2y

令y=1，得

n

=(3，1，2)…（10分）
设直线CG与平面ADF所成的角为θ，
则有sinθ=|

n • DE

| n |•| DE |

|=

7

7

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．