Question

如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AC=2

2

．AB=

2

．D为PA的中点，M为CD的中点，N为PB上一点，且PN=3BN．
（Ⅰ）求证：MN⊥PA；
（Ⅱ）求二面角B-CD-A的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）过A在平面ABC内做AX⊥AC，建立坐标系，求出向量的坐标，利用

MN

•

PA

=0，即可得出MN⊥PA；
（Ⅱ）求出平面ADC、平面BCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角B-CD-A的大小．

解答： （Ⅰ）证明：过A在平面ABC内做AX⊥AC，由PA⊥平面ABC，故可建立如图所示的坐标系，则
A（0，0，0），B（

6

2

，

2

2

，0），C（0，2

2

，0），P（0，0，2），D（0，0，1）
∵M为CD的中点，
∴M（0，

2

，0.5），
∵N为PB上一点，且PN=3BN，
∴N（

3 6

8

，

3 2

8

，0.5），
∴

MN

=(

3 6

8

，-

5 2

8

，0)，
∵

PA

=（0，0，-2），
∴

MN

•

PA

=0，
∴MN⊥PA；
（Ⅱ）解：沿x轴方向取AF=1，则

AF

=（1，0，0），∴

AF

为平面ADC的一个法向量．
设平面BCD的法向量为

n

=（x，y，1），
∵

CD

=（0，-2

2

，1），

BC

=（-

6

2

，

3 2

2

，0）
∴

- 6 2 x+ 3 2 2 y=0 -2 2 y+1=0

，
∴取

n

=（

6

4

，

2

4

，1），
∴cos＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n || AF |

=

6 4

6 2

=

1

2

，
∴二面角B-CD-A的大小为

π

3

．

点评：本题考查考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，确定平面的法向量是关键．