Question

如图，AB是⊙O的一条直径，过A作⊙O的切线，在切线上取一点C，使AC=AB，连接OC，与⊙O交于点D，BD的延长线与AC交于点E，求证：
（Ⅰ）∠CDE=∠DAE；
（Ⅱ）AE=CD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用弦切角定理能证明∠CDE=∠DAE． 
（Ⅱ）由已知条件，推导出△CDE∽△CAD，进而得到△ADE∽△BAE，由此能够证明AE=CD．

解答： 证明：（Ⅰ）如图，∵∠CDE=∠ODB=∠OBD，
AC与⊙O切于点A，AD是弦，
∴∠DAE=∠OBD
∴∠CDE=∠DAE． …（5分）
（Ⅱ）∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD
∴

CD

AC

=

DE

AD

，∴CD=AC•

DE

AD

…①
而△ADE∽△BAE，∴

DE

AD

=

AE

AB

…②
由①②得CD=AC•

AE

AB

又∵AC=AB，∴AE=CD． …（10分）

点评：本题考查角的相等、线段长相等的证明，是中档题，解题时要注意弦切角定理、相似三角形等知识点的合理运用．