Question

如图，AB是⊙O的一条直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，过B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BN=BM．
（1）求证：∠NBD=∠DBM；
（2）求证：AM是∠BAC的角平分线．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：立体几何

分析：（1）利用圆的直径的性质和等腰三角形的性质 即可得出．
（2）利用弦切角定理和同弧所对的圆周角相等即可得出．

解答： 证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是

CD

．
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．

点评：本题考查了圆的直径的性质和等腰三角形的性质、弦切角定理和同弧所对的圆周角相等，属于基础题．