Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H-BD-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（I）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；
（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDEF的法向量，即可求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H-BD-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．
∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴A（0，-

3

，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），E（-1，0，3），F（1，0，3），C（0，

3

，0），H（

1

2

，

3

2

，

3

2

）
∵AC⊥平面BDEF，
∴平面BDEF的法向量

AC

=（0，2

3

，0）．
设直线DH与平面BDEF所成角为α，
∵

DH

=（

3

2

，

3

2

，

3

2

），
∴sinα=|cos＜

DH

，

AC

＞|=|

DH • AC

| DH || AC |

|=

7

7

，
∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为

7

7

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得

BH

=（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），

DB

=（2，0，0）．
设平面BDH的法向量为

n

=（x，y，z），则

-x+ 3 y+3z=0 2x=0

令z=1，得

n

=（0，-

3

，1）
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为

ED

=（0，0，-3），
则cos＜

n

，

ED

＞=

n • ED

| n || ED |

=-

1

2

，
由图可知二面角H-BD-C为锐角，
∴二面角H-BD-C的大小为60°．

点评：本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．