Question

已知四面体ABCD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）若AD=CD，求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角B-CD-A的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件能推导出△ADB≌△CDB，从而得到AC⊥平面BDM，由此能够证明AC⊥BD．
（Ⅱ）过点A作AH⊥BD交BD延长线于H，过H作HG⊥CD于G，连结GA，由三垂线定理推导出∠AGH为二面角A-CD-H的平面角，由此能求出二面角B-CD-A的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD=DC，∠ADB=∠CDB=120°，BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，∴AB=BC，
取AC中点M，则MB⊥AC，DM⊥AC，
∴AC⊥平面BDM，
∵BD?平面BDM，
∴AC⊥BD．（4分）
（Ⅱ）解：过点A作AH⊥BD交BD延长线于H，
过H作HG⊥CD于G，连结GA，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥CD
根据三垂线定理知，
∠AGH为二面角A-CD-H的平面角，
由已知可知∠ADH=60°，
设AD=2a，则AH=

3

a，HD=a，
在Rt△HDG中，∵∠HDG=60°，∴HG=

3

2

a，
∴tan∠AGH=2，
∴二面角B-CD-A的正切值为-2．（10分）
注：用空间向量做，酌情给分．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．