Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A、B的一点，∠BAC=45°，点V是圆O所在平面外一点，且VA=VB=VC，E是AC的中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面VBC；
（Ⅱ）求证：VO⊥面ABC；
（Ⅲ）已知θ是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的平面角，且0°＜θ＜90°，若OA=OV=1，求cosθ的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）要证OE∥平面VBC，只需证OE平行于平面VBC内的一条直线即可；
（Ⅱ）要证VO⊥平面ABC，只需证VO垂直于平面ABC内的两条相交直线即可；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面VBC、平面VOE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求cosθ的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵O，E分别是AB和AC的中点，∴OE∥BC．--------------（2分）
又∵OE?面VBC，BC?面VBC．----------------------------（3分）
∴OE∥面VBC．-----------------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：∵VA=VB，∵△ABC为等腰三角形，
又∵O为AB中点，∴VO⊥AB；--------------------------------（5分）
在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，△VOA≌△VOC；--------（6分）
∴∠V0A=∠VOC=90°．∴VO⊥OC；--------------------------------------（7分）
∵AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，---------------------（8分）
∴VO⊥平面ABC．---------------------------------------------------（9分）
（Ⅲ）解：在圆O内，OA=OC，∠CAO=45°，所以CO⊥AO．
由（Ⅱ）VO⊥平面ABC，如图，建立空间直角坐标系．-------------------------（10分）
∵OA=OB=OC=OV=1，
∴C（1，0，0），A（0，1，0），B（0，-1，0），V（0，0，1），E（

1

2

，

1

2

，0）．（11分）
∴

CB

=（-1，-1，0），

CV

=（-1，0，1）
设

m

=(x，y，z)为平面VBC的法向量，则

CB • m =0 CV • m =0.

，
∴

x+y=0 x-z=0.

，令x=1，解得

m

=(1，-1，1)．----------------------（12分）
同理，求得平面VOE的法向量为

n

=(1，-1，0)．--------------------（13分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1+1

3 × 2

=

6

3

，
∴cosθ=

6

3

．----------------------------------------------（14分）

点评：本题考查线面平行，线面垂直的判定定理，考查面面角，正确运用线面平行，线面垂直的判定定理，求出平面的法向量是关键．