Question

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（4，0）、与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
（1）求拋物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；
②当n=2时，若P为AB边中点，请求出m的值；
（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动，且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：（1）由抛物线过E（0，4），F（4，0），代入抛物线方程求得系数a、c．可得抛物线方程；
（2）①过点P作PG⊥x轴于点G，由图象P的横坐标，根据P在抛物线上求得其纵坐标；由正方形ABCD的边长是4，求得Q的纵坐标为-1，代入抛物线方程求其横坐标；
②当n=2时，则点P的纵坐标为2，根据P在抛物线上，得P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），结合图形求得m值；
（3）由A（m，n）可得CD直线方程与B点坐标，利用数形结合思想求解．

解答： 解：（1）由抛物线过E（0，4），F（4，0），
则

16a+c=0 c=4

⇒

a=- 1 4 c=4

，
∴抛物线的方程为y=-

1

4

x²+4；
（2）①过点P作PG⊥x轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，
∵F（4，0），∴OF=4，∴OG=

1

2

PF=

1

2

×4=2，即点P的横坐标为2，
∵P在抛物线上，∴y=-

1

4

×4+4=3，即P（2，3），
∵正方形ABCD的边长是4，∴Q的纵坐标为-1，
又Q在抛物线上，∴-1=-

1

4

x²+4⇒x=2

5

或-2

5

（舍去），
∴Q（2

5

，-1）；
K_PF=

-3

2

，∴PF所在直线l的函数解析式为y=-

3

2

（x-4）；
②当n=2时，则点P的纵坐标为2，∵P在抛物线上，∴P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），
∵P为AB的中点，∴AP=2，
∴A（2

2

-2，2）或A（-2

2

-2，2），∴m的值为2

2

-2或-2

2

-2．
（3）假设B在M点时，C在抛物线上，A的横坐标是m，则B的横坐标是m+4，
代入直线PF的解析式得：y=-

3

2

（m+4）+6=-

3

2

m，
则B的纵坐标是-

3

2

m，则C的坐标是（m+4，-

3

2

m-4）．
把C的坐标代入抛物线的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

（m+4）²+4，解得：m=-1-

17

或-1+

17

（舍去）；
当B在E点时，AB经过抛物线的顶点，则E的纵坐标是4，
把y=4代入y=-

3

2

x+6，得4=-

3

2

x+6，解得：x=

4

3

，
此时A的坐标是（-

8

3

，4），E的坐标是：（

4

3

，4），此时正方形与抛物线有3个交点．
当点B在E点时，正方形与抛物线有两个交点，此时-1-

17

＜m＜-

8

3

；
当点B在E和P点之间时，正方形与抛物线有三个交点，此时：-

8

3

＜x＜-2；
当B在P点时，有两个交点；
假设当B点在N点时，D点同时在抛物线上时，
同理，C的坐标是（m+4，-

3

2

m-4），则D点的坐标是：（m，-

3

2

m-4），
把D的坐标代入抛物线的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

m²+4，解得：m=3+

41

或3-

41

（舍去），
当B在F与N之间时，抛物线与正方形有两个交点．此时0＜m＜3+

41

．
故m的范围是：-1-

17

＜m＜-

8

3

或m=2或0＜m＜3+

41

．

点评：本题考查了二次函数的图象性质，考查了利用数形结合思想解决问题，考查了学生分析解答问题的能力．