Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，E为AC的中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求平面APB与平面EPB夹角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得平面APB与平面EPB夹角的余弦值．

解答： （1）证明：取AB的中点D，连接PD，
∵PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB．
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DE⊥AB，
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE，
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE；
（2）解：AB⊥平面PDE，DE⊥AB，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，
则B（1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，

3

2

，0），
∴

PB

=（1，0，-

3

），

PE

=（0，

3

2

，-

3

）．
设平面PBE的法向量

n1

=（x，y，z），则

x- 3 z=0 3 2 y- 3 z=0

令z=

3

，得

n1

=（3，2，

3

）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为

n2

=（0，1，0），
设平面APB与平面EPB夹角大小为θ，
由图知，cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

1

2

，
∴θ=60°，
即二面角的A-PB-E大小为60°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（1）的关键，而（2）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．