Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C得如图2四棱锥D′-ABCM．
（1）求证：平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）若∠D′EF=

π

3

，直线D′F与平面ABCM所成角的大小为

π

3

，求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据图形折叠前后的关系，易证AM⊥面D′EF，得出平面D′EF⊥平面AMCB．
（2）由（1）知，AM⊥面D′EF，所以平面ABCM⊥面D′EF，过D′作D′H⊥EF，则D′H⊥平面ABCM，∠D′FH是直线D'F与平面ABCM所成角，∠D′AH是直线AD′与平面ABCM所成角在直角三角形D′AH求解即可．

解答： （1）证明：∵将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，
∴AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩EF=E，
∴AM⊥面D′EF，
∵AM?平面AMCB，
∴平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）解：由（1）知，AM⊥面D′EF，AM?平面ABCM，
∴平面ABCM⊥面D′EF，
过D′作D′H⊥EF，则D′H⊥平面ABCM，
∴∠D′FH也就是∠D′FE是直线D'F与平面ABCM所成角，
由已知，∠D′FE=

π

3

，
并且∠D′AH是所求的直线AD′与平面ABCM所成角．
∵∠D′EF=

π

3

，且∠D′FE=

π

3

在三角形△D′EF中，
∵∠D′EF=

π

3

，且∠D′FE=

π

3

∴是等边三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，
∴△DAF是等腰三角形．
设AD=2，∴AF=2，EF=

2

，四棱锥D′-ABCM的高D′H=

6

2

由于直线AD′与平面ABCM所成角为∠D′AH，
∴sin∠D′AH=

D′H

AD′

=

6

4

．

点评：本题考查直线与平面、平面与平面位置关系的判断，线面角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算能力．