Question

已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CB⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠ABC=90°，∴CB⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：∵ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=BC=2，AD=1，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，1，0），P（0，0，2），
∴

PD

=（0，1，-2），

PC

=（2，2，-2），
设平面PCD的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m

•

PD

=0，

m

•

PC

=0，
∴

y-2z=0 2x+2y-2z=0

，∴

m

=（-1，2，1），
平面PAD的法向量

n

=（0，1，0），
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

6

|=

6

3

，
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．