Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积不大于

1

2

a2；
④若点P在曲线C上，则P到原点的距离不小于

a2-1

．
其中正确命题序号是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．

解答： 解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S_△F1PF2=

1

2

×2×y=y，由①知y²=-x²-1+

4x2+a4

或y²=-x²-1-

4x2+a4

（舍去），令

4x2+a4

=t，则x²=

t2-a4

4

，∴y²=-

t2-a4

4

-1+t=-

1

4

（t-2）²+

a4

4

≤

a4

4

，∴S_△F1PF2²=y²≤

1

2

a²，故③正确；
对于④，y²=-x²-1+

4x2+a4

，∴y²+x²=-1+

4x2+a4

≥a²-1，∴P到原点的距离不小于

a2-1

，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．