Question

如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB=6，EC=6

2

，则BC的长为

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：连接OC，由弦切角定理推导出OC∥AD．由AD⊥DC，得到DC⊥OC，由切割线定理得到EC²=EB•EA．再由已条件推导出△ECB∽△EAC，由此能求出BC长．

解答： 解：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴点C在⊙O上．
连接OC，由弦切角定理得∠OCA=∠OAC=∠DAC，
∴OC∥AD．又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC．
∵OC为⊙O半径，∴DC是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，∴EC²=EB•EA．
又∵EB=6，EC=6

2

，∴EA=12，AB=6．
又∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，
∴△ECB∽△EAC，∴

BC

AC

=

EC

EA

=

2

2

，
∴AC=

2

BC．
又∵AC²+BC²=AB²=36，∴BC=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理、相似三角形等知识点的合理运用．