Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=2，点N为B₁C₁的中点，点P在棱A₁C₁的运动
（1）试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，且AA₁＜AB，直线B₁C与平面BCP的成角的正弦值为

10

10

，求二面角A-BP-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）点P在A₁C₁中点位置时，AB∥平面PNC．利用三角形中位线定理和平行公理能推导出AB∥PN，由此能证明AB∥平面PNC．
（2）以B为原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法由已知条件能求出AA₁的长，由此利用向量法能求出二面角A-BP-C的大小．

解答： 解：（1）点P在A₁C₁中点位置时，AB∥平面PNC．
证明如下：
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点N为B₁C₁的中点，点P在棱A₁C₁的运动，
∴点P在A₁C₁中点位置时，PN是△A₁B₁C₁的中位线，
∴PN∥A₁B₁，
∵AB∥A₁B₁，∴AB∥PN，
∵AB不包含于平面PNC，PN?平面PNC，
∴AB∥平面PNC．
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，
∴以B为原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=2，点N为B₁C₁的中点，点P为A₁C₁的中点，设AA₁=λ，
∴B（0，0，0），A₁（2，0，λ），C₁（0，2，λ），C（0，2，0），
B₁（0，0，λ），A（2，0，0），
∴P（1，1，λ），

BP

=（1，1，λ），

BC

=(0，2，0)，

CB1

=（0，-2，λ），

BA

=(2，0，0)，
设平面BPC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BP =x+y+λz=0 n • BC =2y=0

，∴

n

=(λ，0，-1)，
∵直线B₁C与平面BCP的成角的正弦值为

10

10

，
∴|cos＜

n

，

CB1

＞|=|

-λ

4+λ2 • 1+λ2

|=

10

10

解得λ=±1或λ=±2，
∵AA₁＜AB，∴λ=1，
∴AA₁=1，平面BPC的法向量

n

=（1，0，-1），

BP

=(1，1，1)．
设平面ABP的法向量

n2

=（x₁，y₁，z₁），
则

n2 • BA =2x1=0 n2 • BP =x1+y1+z1=0

，∴

n2

=(0，1，-1)，
设二面角A-BP-C的平面角为θ，
则cosθ=-|cos＜

n1

，

n2

＞|=-|

0+0+1

2 • 2

|=-

1

2

，
∴θ=120°．
∴二面角A-BP-C的大小为120°．

点评：本题考查直线与平面平行的判断与证明，考查二面角大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．