Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，侧棱长为

2

2

a，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求AB₁与侧面BCC₁B₁所成角的大小；
（3）请在棱A₁C₁确定点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D的平面角为

π

4

，并证明你的结论．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁B交AB₁于E点，由A₁D=DC₁，结合三角形中位线定理可得DE∥BC₁，进而根据线面平行的判定定理得到直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）取BC中点F，连DF，B₁F，∠DB₁F为DB₁与平面BCC₁B₁所成角．在直角△DB₁F中求解即可．
（3）连接MN，过A₁作A₁F⊥AB₁于F．由（2）的结合可得∠MND为二面角A₁-AB₁-D平面角，设，由二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为1，我们易构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可指出点D的位置．

解答： 解：（1）证明：连接A₁B交AB₁于E点，
在平行四边形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁
∴DE为△A₁BC₁的中位线，从而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直线BC₁∥平面AB₁D
（2）取BC中点F，连AF，B₁F
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，
又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC₁B₁
又F为BC中点，∴DF=

3

2

a，⊥面BCC₁B₁
∴AB₁在平面BCC₁B₁内的射影为FB₁
∴AB₁与平面BCC₁B₁的所成角为∠AB₁F
在RT△FB₁A中，B₁B=

2

2

a，BF=

( 1 2 a)2+( 2 2 a)2

=

3

2

a，
∴∠AB₁F=45°．
（3）连接MN，过A₁作A₁F⊥AB₁于F．
由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A₁-AB₁-D平面角，
设

A1D

A1C1

=λ，则

A1M

A1B1

=

λ

2

，
则可得DM=

3 a

2

λ，A1F=

3

3

a，

MN

A1F

=1-

λ

2

⇒MN=

3 a

3

（1-

λ

2

），
∴tanθ=

DM

MN

=

3 a 2 λ

3 a 3 (1- λ 2 )

=-3+

6

2-λ

．∴-3+

6

2-λ

=1⇒λ=

1

2

即点D在棱A₁C₁上，且

A1D

A1C1

=

1

2

时，
二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为

π

4

．

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得DE∥BC₁，（2）解题的关键是找出直线与平面所成角；（3）解题的关键是根据已知条件构造关于λ的方程．