Question

如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，△ABC为等边三角形． O为AB的中点，OF⊥EC．
（Ⅰ）求证：OE⊥FC；
（Ⅱ）求二面角E-FC-O的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明OE⊥FC，只需证明OE⊥平面OFC，只需证明OF⊥OE，OC⊥OE；
（Ⅱ）过O作OG⊥FC，垂足为G，连接EG，则∠OGE就是二面角E-FC-O的平面角，求出OG，OE，即可求二面角E-FC-O的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，
故OC⊥AB．            …（1分）
又因平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABEF，
于是OC⊥OF．         …（3分）
又OF⊥EC，
所以OF⊥平面OEC，
所以OF⊥OE，…（5分）
又因OC⊥OE，故OE⊥平面OFC，
所以OE⊥FC．         …（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得AB=2AF．不妨设AF=1，则AB=2．
因为△ABC为等边三角形，则AC=BC=2，…（9分）
过O作OG⊥FC，垂足为G，连接EG，
则∠OGE就是二面角E-FC-O的平面角．…（11分）
在△OFC中，FC=

5

，CO=

3

，OF=

2

，
所以

5

OG=

3

•

2

，
所以OG=

6

5

，
又EO=

2

，
所以tan∠EGO=

EO

EG

=

15

3

，
即二面角E-FC-O的正切值为

15

3

．                          …（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．