Question

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小（理）；
     求二面角P-AC-D的正切值的大小（文）．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，由已知条件推导出MN∥AC，由此能够证明AC∥平面MDE．
（2）（理）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
（文）过点D作DE⊥AC，交AC于E，连结PE，由题设条件推导出∠PED是二面角P-AC-D的平面角，由此能求出二面角P-AC-D的正切值．

解答： （1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，
在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点，
∴MN∥AC，…（2分）
又∵AC?面MDE，MN?面MDE，
∴AC∥平面MDE．…（4分）
（2）（理）以D为空间坐标系的原点，
分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知P（0，0，

2

a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
∴

PB

=（a，a，-

2

a），

BC

=（-a，a，0），…（6分）
设平面PAD的单位法向量为

n1

，则可取

n1

=（0，1，0），…（7分）
设面PBC的法向量

n2

=（x，y，z），
则

n2

•

PB

=0，

n2

•

BC

=0，
∴

ax+ay- 2 az=0 -ax+ay=0

，∴

n2

=（

2

2

，

2

2

，1），…（10分）
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

2 2

1× 2

|=

1

2

，…（11分）
∴θ=60°，
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°．…（12分）
（文）过点D作DE⊥AC，交AC于E，连结PE，
∵PD⊥平面ADC，
∴∠PED是二面角P-AC-D的平面角，…（7分）
∵∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a，
∴AC=

a2+(2a)2

=

5

a，
DE=

AD•DC

AC

=

a•2a

5 a

=

2

5

a，．…（10分）
∴tan∠PED=

PD

DE

=

2 a

2 5 a

=

10

2

，
∴二面角P-AC-D的正切值为

10

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．