Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

AD=2，O为AD上一点，且AO=1，平面外两点P、E满足，AE=1，EA⊥AB，EB⊥BD，PO∥EA．
（1）求证：EA⊥平面ABCD；
（2）求平面AED与平面BED夹角的余弦值；
（3）若BE∥平面PCD，求PO的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出BD⊥AB，EB⊥BD，从而得到BD⊥平面ABE，再由BD⊥EA，EA⊥AB，能够证明EA⊥平面ABCD．
（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出平面AED与平面BED夹角的余弦值．
（3）设PO=h，则P（0，0，h），求出平面PCD的法向量

n3

=（h，

3

h，3

3

），由BE∥平面PCD，得到

EB

•

n3

=0，由此能求出PO的长．

解答： 解：（1）在等腰梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=BC=CD=

1

2

，AD=4，
∴BD⊥AB，
又∵EB⊥BD，∴BD⊥平面ABE，
∴BD⊥EA，
又∵EA⊥AB，
∴EA⊥平面ABCD．…（4分）
（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，
如图建立直角坐标系，
由题意知：A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，D（0，3，0），E（0，-1，1），
∴

AE

=（0，0，1），

AD

=（0，4，0），

BE

=（-

3

，-1，1），

BD

=（-

3

，3，0），
设平面AED的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

n1

•

AE

=0，

n1

•

AD

=0，
∴

z=0 4y=0

，∴平面AED法向量

n1

=(1，0，0)，
设平面BED的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

n2

•

BE

=0，

n2

•

BD

=0，
∴

- 3 x2-y2+z2=0 - 3 x2+3y2=0

，∴平面BED法向量为

n2

=(

3

，1，4)，
设平面PBD与平面PCD所成的角为θ，
由cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

3

20

|=

15

10

，
∴平面AED与平面BED夹角的余弦值为

15

10

．…（8分）
（3）设PO=h，则P（0，0，h），C（

3

，2，0），
∴

EB

=(

3

，1，-1)，

PC

=（

3

，2，-h），

PD

=(0，3，-h)，
设平面PCD的法向量

n3

=（x₃，y₃，z₃），则

n3

•

PC

=0，

n3

•

PD

=0，
∴

3 x3+2y3-hz3=0 3y3-hz3=0

，∴平面PCD法向量为

n3

=（h，

3

h，3

3

），
∵BE∥平面PCD，
∴

EB

•

n3

=2

3

h-3

3

=0，
解得h=

3

2

，
∴PO的长为

3

2

．…（12分）
（其他方法相应给分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要注意向量法的合理运用．