Question

（理科）如图，正三棱锥P-ABC中，底面ABC的边长为2，正三棱锥P-ABC的体积为V=1，M为线段BC的中点，求直线PM与平面ABC所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：连接AM，过点P作PH垂直于AM于H，证明∠PMH为直线PM与平面ABC所成的角（或其补角），利用正三棱锥P-ABC底面ABC的边长为2，体积为V=1，可得PH，求出HM，即可得出结论．

解答： 解：如图，连接AM，过点P作PH垂直于AM于H，
正三棱锥P-ABC中，

PB=PC M为BC的中点 ⇒PM⊥BC AB=AC M为BC的中点 ⇒AM⊥BC PM∩AM=M

⇒BC⊥平面PMA            3分
又PH为平面PMA中的一条直线，
所以BC⊥PH
因为PH⊥AM且BC∩AM=M，
所以PH⊥平面ABC，5分
所以∠PMH为直线PM与平面ABC所成的角（或其补角）         6分
因为正三棱锥P-ABC底面ABC的边长为2，体积为V=1
所以由V=

1

3

S△ABCPH知PH=

3V

S△ABC

=

3

3 4 ×22

=

3

，

PH⊥平面ABC AM为BC边上的中线 △ABC为等边三角形

⇒H为△ABC的重心，
所以HM=

1

3

AM=

3

3

，9分
Rt△PHM中，tan∠PMH=

PH

HM

=

3

3 3

=3           11分
得∠PMH=arctan3，
故直线PM与平面ABC所成的角为arctan3（或arccos

10

10

或arcsin

3 10

10

）               12分

点评：本题考查线面角，考查线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．