Question

（理科）已知如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，其中AB=3，PA=4．若在PD上存在一点E，使得BE⊥CE．
（Ⅰ）求线段AD长度的取值范围；
（Ⅱ）若满足条件的E点有且只有一个，求二面角E-BC-A的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过点E作AD的垂线，垂足为F，连结BF，过点F作AB的平行线，交BC于G，连结EG，令EF=x，AD=a，利用勾股定理、根的判别式等知识点能线段AD长度的取值范围．
（Ⅱ）当a=4

3

时，方程4x²-12x+9=0有且仅有一个实根，由此能推导出存在唯一的点E．并能求出二面角E-BC-A的正切值．

解答： （理科）（Ⅰ）解：如图，过点E作AD的垂线，垂足为F，连结BF，
过点F作AB的平行线，交BC于G，连结EG，
令EF=x，AD=a，
∵PA⊥面ABCD，∴EF∥PA，
∴DF=

EF

PA

•AD=

ax

4

，AF=(1-

x

4

)a，
∴BE²=BF²+EF²=AB²+AF²+EF²=9+(1-

x

4

)2a2+x2．
∵BE⊥CE，∴BC²=BE²+CE²．
∵BC=a，CE²=EF²+FC²=EF²+FD²+CD²=x2+

1

16

a2x2+9，
∴a2=18+(1+

x2

8

-

x

2

)a2+2x2，
(

a2

8

+2)x2-

a2

2

x+18=0①．
由△≥0，得a⁴-36a²-576≥0，解得a≥4

3

．
∴线段AD长度的取值范围是[4

3

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=4

3

时，
方程①即4x²-12x+9=0，△=0．
方程①有且仅有一个实根，
∴存在唯一的点E．
∵EF⊥面ABCD，BC⊥FG，BC⊥EG，
∴∠EGF是二面角E-BC-F的平面角，
tan∠EGF=

EF

GF

=

3 2

3

=

1

2

．
∴二面角E-BC-A的正切值为

1

2

．…（10分）

点评：本题考查线段长度取值范围的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．