Question

已知椭圆：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，离心率为

2

2

，焦点F₁（0，-c），F₂（0，c）过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且△F₂MN的周长为4．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ） 直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且

AP

=λ

PB

．若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先离心率为

2

2

，△F₂MN的周长为4，可求出a，b，c的值，从而得到答案．
（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，根据

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

，可得λ=3，再利用韦达定理，即可解出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，4a=4，

c

a

=

2

2

，
∴a=1，c=

2

2

，
∴b=

a2-c2

=

2

2

，
∴椭圆方程方程为y2+

x2

1 2

=1；
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+m y2+2x2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
∴x₁+x₂=-

2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

，
∵

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴λ=3
∴-x₁=3x₂
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（-

2km

k2+2

）²+4•

m2-1

k2+2

=0，
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0
m²=

1

4

时，上式不成立；m²≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

，
由（*）式得k²＞2m²-2
∵k≠0，
∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
即所求m的取值范围为（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点题目，要强化学习．