Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=45°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3
（1）求证：AB₁⊥面A₁BC；
（2）求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AB₁⊥面A₁BC，只需证明AB₁⊥A₁B，CB⊥AB₁，证明CB⊥平面AA₁B₁B，利用四边形A₁ABB₁为菱形可证；
（2）过B作BD⊥AA₁于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C-AA₁-B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C-AA₁-B的余弦值．

解答： （1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，
所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，
又因为四边形BCC₁B₁为矩形，所以CB⊥BB₁，
因为AB∩BB₁=B，
所以CB⊥平面AA₁B₁B，
又因为AB₁?平面AA₁B₁B，
所以CB⊥AB₁，
又因为四边形A₁ABB₁为菱形，
所以AB₁⊥A₁B，
因为CB∩A₁B=B
所以AB₁⊥面A₁BC；
（2）解：过B作BD⊥AA₁于D，连接CD
因为CB⊥平面AA₁B₁B，
所以CB⊥AA₁，
因为CB∩BD=B，
所以AA₁⊥面BCD，
又因为CD?面BCD，
所以AA₁⊥CD，
所以，∠CDB就是二面角C-AA₁-B的平面角．
在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2

2

在直角△CDB中，DB=2

2

，CB=3，所以CD=

17

，
所以cos∠CDB=

2 2

17

=

2 34

17

．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．