Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，AC，BD相交于点O，PD=

2

AB，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小；
（3）当PO⊥AE时，求

PE

EB

的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，推导出AC⊥平面PBD，由此能证明平面AEC⊥平面PDB．
（2）由AC⊥平面PBD，推导出∠AEO即为AE与平面PDB所成的角，且∠AOE为直角，由此能求出AE与平面PDB所成的角的大小．
（3）由AC⊥平面PBD，推导出AC⊥PO，当PO⊥AE时，PO⊥OE，由此利用已知条件能求出

PE

EB

的值．

解答： 解：（1）∵ABCD为正方形，AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD┅（2分）
而BD与PD是平面PBD内两相交直线，
∴AC⊥平面PBD┅（3分）
而AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB┅（5分）
（2）∵AC⊥平面PBD，
∴AE在平面PDB内的射影为OE，
∴∠AEO即为AE与平面PDB所成的角，且∠AOE为直角┅（7分）
令AB=1，则PD=

2

，
∵E为PB的中点，∴OE=

1

2

PD=

2

2

，OA=

2

2

，
∴△AOE为等腰直角三角形，┅（9分）
∴∠AEO=

π

4

，即AE与平面PDB所成的角为

π

4

┅（10分）
（3）∵AC⊥平面PBD，PO?平面PBD，
∴AC⊥PO，
当PO⊥AE时，PO⊥平面AEC，∴PO⊥OE┅（12分）
在△PDB中，tan∠OPD=

OD

PD

=

1

2

∴tan∠OPE=tan(

π

4

-∠OPD)=

1

3

∴cos∠OPE=

3 10

10

，
而cos∠OPE=

OP

PE

=

3 10

10

，OP=

PD2+OD2

=

10

2

，
∴PE=

5

3

，BE=

1

3

，┅（14分）
∴

PE

EB

=5┅（15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，考查结线段比值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．