Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=a，E，F分别为AD，CD的中点．
（1）若AC₁⊥D₁F，求a的值；
（2）若a=2，求二面角E-FD₁-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：等差数列与等比数列,空间向量及应用

分析：（1）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出a的值．
（2）分别求出平面FD₁D的一个法向量为

m

和平面EFD₁的一个法向量

n

，利用向量法能求出二面角E-FD₁-D的余弦值．

解答： 解：（1）如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，
DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立坐标系．
∵AB=AD=2，AA₁=a，E，F分别为AD，CD的中点，
∴A（2，0，0），D₁（0，0，a），
C₁（0，2，a），F（0，1，0）．
∴

AC1

=（-2，2，a），

D1F

=（0，1，-a）．…（2分）
∵AC₁⊥D₁F，∴

AC1

•

D1F

=0，即（-2，2，a）•（0，1，-a）=0．
∴2-a²=0，又a＞0，解得a=

2

．…（5分）
（2）平面FD₁D的一个法向量为

m

=（1，0，0）．
设平面EFD₁的一个法向量为

n

=（x，y，z），
∵E（1，0，0），a=2，
∴

EF

=（-1，1，0），

D1F

=（0，1，-2）．
由

n

⊥

EF

，

n

⊥

D1F

，得-x+y=0且y-2z=0，
解得x=y=2z．
故平面EFD₁的一个法向量为

n

=（2，2，1）．…（8分）
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

(1，0，0)•(2，2，1)

1×3

=

2

3

，
且二面角E-FD₁-D的大小为锐角，
∴二面角E-FD₁-D的余弦值为

2

3

．…（10分）

点评：本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．