Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱和底面垂直的棱柱）中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁=3，线段AC、A₁B上分别有一点E、F，且满足2AE=EC，2BF=FA₁．
（1）求证：平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁；
（2）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由BC⊥AB，BC⊥AA₁，推导出BC⊥面A₁ABB₁，由此能够证明面A₁BC⊥面A₁ABB₁．
（2）以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵BC⊥AB，BC⊥AA₁，
∴BC⊥面A₁ABB₁，
又∵BC?面A₁BC，
∴面A₁BC⊥面A₁ABB₁．（4分）
（2）解：由（1）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB=BC=AA₁=3，
∴B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A₁（0，3，3），
又∵线段AC、A₁B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA₁，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），（6分）
∴

BE

=（1，2，0），

BF

=（0，1，1），
设平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

BE

=0，

n

•

BF

=0，
∴

x+2y=0 y+z=0

，∴面BEF的法向量

n

=(2，-1，1)，（8分）
面BEC的法向量

m

=（0，0，-1），
设所求二面角平面角为θ，
则cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

-1

1× 6

|=-

6

6

．
∴二面角F-BE-C的平面角的余弦值为-

6

6

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．