Question

已知函数f（x）=

ax+1+bx+1

ax+bx

，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：

2

1 a + 1 b

＜

ab

＜

a+b

2

＜

a2+b2

a+b

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分子分母同时除以b^x，然后根据指数函数和分式函数的单调性之间的关系，即可判断函数f（x）的单调性；
（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，将不等式中的式子转化为对应的函数值，利用函数的单调性即可证明不等式：

2

1 a + 1 b

＜

ab

＜

a+b

2

＜

a2+b2

a+b

．

解答： 解：（1）f（x）=

ax+1+bx+1

ax+bx

=

a?( a b )x+b

( a b )x+1

=

a?[( a b )x+1]+b-a

( a b )x+1

=a+

b-a

( a b )x+1

，
若a=b，则f（x）=a，此时函数为常数函数，不单调．
若a＞b，则b-a＜0，

a

b

＞1，
则y=(

a

b

)x+1为增函数，
∴根据 符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数．
若a＜b，则b-a＞0，0＜

a

b

＜1，
则y=(

a

b

)x+1为减函数，
∴根据 符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数．
综上当a≠b时，函数f（x）的单调递增．
（2）∵f（x）=

ax+1+bx+1

ax+bx

，
∴f（0）=

a+b

2

，f（1）=

a2+b2

a+b

，f（-1）=

2

1 a + 1 b

，f（-

1

2

）=

ab

，
∵当a≠b时，函数f（x）的单调递增．且-1＜-

1

2

＜0＜1，
∴f（-1）＜f（-

1

2

）＜f（0）＜f（1），
即

2

1 a + 1 b

＜

ab

＜

a+b

2

＜

a2+b2

a+b

成立．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，要求熟练掌握符合函数单调性之间的关系，将不等式中的式子转化为对应的函数值是解决本题的关键．