Question

设

a

=(2cosωx，

3

)，

b

=(sinωx，cos2ωx-sin2ωx)（ω＞0），函数f(x)=

a

•

b

，且函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为

π

4

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足f（A）=0，B=

π

4

，a=2，求c边的长．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，根据函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为

π

4

，即可求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）先求出A，再求出sinC，进而利用正弦定理，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(2cosωx，

3

)，

b

=(sinωx，cos2ωx-sin2ωx)（ω＞0）
∴f(x)=

a

•

b

=2sinωxcosωx+

3

（cos²ωx-sin²ωx）=sin2ωx+

3

cosωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为

π

4

，
∴T=

2π

2ω

=4×

π

4

，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（A）=2sin（2A+

π

3

）=0，
∴sin（2A+

π

3

）=0，
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
∴2A+

π

3

=π，
∴A=

π

3

，
∴sinC=sin（A+B）=

6 + 2

4

，
由正弦定理可得c=

asinC

sinA

=

2× 6 + 2 4

3 2

=

6 +3 2

3

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数解析式的确定，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．