Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁、O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若∠A₁AB=60°，求平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：等差数列与等比数列,空间向量及应用

分析：（1）连结AC，BD，AC，由题设条件得到O为AC，BD的交点，O₁为A₁C₁，B₁D₁的交点．从而得到四边形A₁OCO₁为平行四边形，由此能够证明平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）由题设条件推导出Rt△A₁OB≌Rt△A₁OA，从而得到△A₁AB是等边三角形分别以OB，OC，OA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值．

解答： （1）证明：连结AC，BD，AC，则O为AC，BD的交点，
O₁为A₁C₁，B₁D₁的交点．
由平行六面体的性质知：A₁O₁∥OC，且A₁O₁=OC，
∴四边形A₁OCO₁为平行四边形，…（2分）
∴A₁O∥O₁C．
又∵A₁O⊥平面ABCD，∴O₁C⊥平面ABCD，…（4分）
又∵O₁C?平面O₁DC，
∴平面O₁DC⊥平面ABCD．…（6分）
（2）解：∵A₁O⊥平面ABCD，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，
∴Rt△A₁OB≌Rt△A₁OA，∴A₁A=A₁B，
又∠A₁AB=60°，故△A₁AB是等边三角形．…（7分）
不妨设AB=a，则在Rt△A₁OA中，
OA=

2

2

a，AA₁=a，OA₁=

2

2

a，
如图分别以OB，OC，OA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则由题意得A（0，-

2

2

a，0），B（

2

2

a，0，0），A₁（0，0，

2

2

a），…（8分）
∴

AB

=（

2

2

a，

2

2

a，0），

BA1

=（-

2

2

a，0，

2

2

a）
设平面ABA₁的法向量为

n1

=（x，y，z）
则由

AB

•

n1

=0，得x+y=0，由

BA1

•

n1

=0，得x-z=0
令x=1得

n1

=（1，-1，1），…（10分）
又∵BD⊥平面ACC₁A₁，∴平面CAA₁的一个法向量为

n2

=（1，0，0）
cosθ=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

3

3

∴平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值为

3

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．