Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值，并写出f（x）取最小值时相应的x值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的单调性，即可求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）因为x∈[-

π

4

，

π

4

]，所以2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，利用三角函数的性质，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
由2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
∴函数的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．    …（7分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]…（9分），
∴-

3

+1≤2sin(2x+

π

6

)+1≤3，…（11分）
∴当2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

时，函数f（x）取得最小值-

3

+1．…（13分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．