Question

已知函数f(x)=

x2+ax+21

x+1

 (a∈R)，若对于任意的x∈N₊，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行转化，利用基本不等式求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：∵x∈N^*，
∴f（x）≥3恒成立，即x²+ax+21≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-18+3x，又x∈N^*，
∴a≥-x-

18

x

+3恒成立，
令g（x）=-

18

x

-x+3（x∈N^*），
∴a≥g（x）_max，
∵g（x）在（0，3

2

]上单调递增，在[3

2

，+∞）上单调递减，而x∈N^*，
∴g（x）在x取距离3

2

较近的整数值时达到最小，而距离3

2

较近的整数为4和5，
∵g（4）=-

11

2

，g（5）=-

28

5

，
∴g（4）＞g（5），
∴当x∈N^*时，g（x）_max=-

11

2

，
∴a≥-

11

2

，
故答案为：[-

11

2

，+∞）

点评：本题主要考查不等式恒成立，将参数进行分类，转化为求函数的最值是解决本题的根据，要求熟练掌握基本不等式的应用．