Question

已知函数f（x）=x³-3x，若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤

1

m+1

成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式恒成立转化为求|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

，即可得到结论．

解答： 解：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，
等价于|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

，
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，
故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，
而f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+		-		+
f（x）	-2	递增	2	递减	-2	递增	2

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴|f（x）_max-f（x）_min|=4，
即4≤

1

m+1

，
∴0＜m+1≤

1

4

，
即-1＜m≤-

3

4

∴m的取值范围是（-1，-

3

4

]，
故答案为：（-1，-

3

4

]．

点评：本题主要考查利用导数求函数的最值问题，利用不等式恒成立的等价条件，将条件转化为求|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

是解决本题的关键．