Question

已知点A（1，2）在抛物线Γ：y²=2px上．
（1）若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，求

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

的值；
（2）若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，求

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

-

1

k4

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的斜率

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把点A（1，2）代入抛物线Γ：y²=2px上，可得p=2．即可得到抛物线Γ的方程为：y²=4x．设B(

y 2 1

4

，y1)，C(

y 2 2

4

，y2)．利用斜率计算公式即可得出

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

．
（2）设D(

y 2 3

4

，y3)，利用向量计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵点A（1，2）在抛物线Γ：y²=2px上，∴2²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线Γ的方程为：y²=4x．
设B(

y 2 1

4

，y1)，C(

y 2 2

4

，y2)．
∴k1=

y1-2

y 2 1 4 -1

=

4

y1+2

，k2=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

，k₃=

y2-2

y 2 1 4 -1

=

4

y2+2

．
∴

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

=

y1+2

4

-

y1+y2

4

+

y2+2

4

=1．
（2）设D(

y 2 3

4

，y3)，
则

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

-

1

k4

=

y1+2

4

-

y1+y2

4

+

y2+y3

4

-

y3+2

4

=0．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，属于难题．