Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a^x+a^-x（x∈[-1，1]），g（x）=ax²-2ax+4-a（x∈[-1，1]）．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）若对于任意x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围；
（3）若对于任意x₀∈[-1，1]，任意x₁∈[-1，1]，都有g（x₀）≥f（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断函数的奇偶性，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可求f（x）的单调区间和值域；
（2）若对于任意x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，即等价于g（x）_max≥f（x）_max且g（x）_min≥f（x）_min，然后可a的取值范围；
（3）若对于任意x₀∈[-1，1]，任意x₁∈[-1，1]，都有g（x₀）≥f（x₁）恒成立，等价为g（x）_min≥f（x）_max，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x+a^-x（x∈[-1，1]），
则f（-x）=a^x+a^-x=f（x），为偶函数，
设t=a^x，则函数f（x）等价为y=t+

1

t

，
若a＞1，当0≤x≤1时，t=a^x单调递增，且t≥1，此时函数y=t+

1

t

在t≥1上单调递增，∴根据复合函数的单调性可知此时f（x）单调递增．
若0＜a＜1，当0≤x≤1时，t=a^x单调递减，且0＜t≤1，此时函数y=t+

1

t

在0＜t≤1上单调递减，∴根据复合函数的单调性可知此时f（x）单调递增．
综上当x≥0时，函数单调递增，
∵函数f（x）是偶函数，∴当-1≤x≤0时，函数单调递减．
故函数的递增区间为[0，1]，递减区间为[-1，0]．
∴函数的值域为[2，a+

1

a

]．
（2）∵a＞0且a≠1，
∴g（x）=ax²-2ax+4-a（x∈[-1，1]）的对称轴为x=-

-2a

2a

=1，
∴函数g（x）在x∈[-1，1]时，函数单调递减．
∴g（1）=2a+4，g（-1）=4-2a．
即4-2a≤g（x）≤4+2a，
若对于任意x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
即g（x）_max≥f（x）_max且g（x）_min≤f（x）_min，
则

4+2a≥a+ 1 a 4-2a≤2

，
即

4+a≥ 1 a a≥1

，
此时a≥1，
∵a＞0且a≠1，
∴a＞1，
即a的取值范围是a＞1；
（3）若对于任意x₀∈[-1，1]，任意x₁∈[-1，1]，都有g（x₀）≥f（x₁）恒成立，
即g（x）_min≥f（x）_max，
则4-2a≥a+

1

a

，
∴4-3a≥

1

a

，
∴3a²-4a+1≤0，
解得

1

3

≤a≤1，
∵a＞0且a≠1，
∴

1

3

≤a＜1，
即a的取值范围[

1

3

，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，要注意区分存在性与恒成立型函数最值之间的关系．