Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点．其中，|PF|的最小值是2-

2

，△PFA的面积最大值是

2

-1．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，直线BM⊥AB，BM交AP于M，OM交BP于N，求点N到点Q（0，2）的距离的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用|PF|≥a-c，S△PFA=

1

2

(a-c)•|yP|≤

1

2

(a-c)•b，a²=b²+c²，联立解得即可．
（II）设M（2，m），则直线AM的方程为：y=

m

4

(x+2)．代入椭圆的方程可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系，进而得到直线BP、直线OM的方程．联立可得点N的轨迹方程，再利用点到圆上的点的距离求法即可得出．

解答： 解：（I）|PF|=a+ex≥a-c=2-

2

，S△PFA=

1

2

(a-c)•|yP|≤

1

2

(a-c)•b=

2

-1，
联立

a-c=2- 2 1 2 (a-c)•b= 2 -1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=c=

2

．
∴该椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）设M（2，m），则直线AM的方程为：y=

m

4

(x+2)．
代入椭圆的方程可得（m²+8）x²+4m²x+4m²-32=0，
∴-2+xP=-

4m2

m2+8

，化为xP+2=

32

m2+8

．
∴kBP=

yP

xP-2

=

m(xP+2)

4(xP-2)

=-

2

m

．
由直线BP：y=-

2

m

(x-2)，
直线OM的方程为：y=

m

2

x．
联立

y=- 2 m (x-2) y= m 2 x

，化为y²=-x（x-2）（x≠0）．
即（x-1）²+y²=1（x≠0），圆心C（1，0），半径r=1．
∴|QN|_min=|CN|+1=

12+22

+1=

5

+1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系、直线的方程、两点间的距离公式、点到圆上的点的最值距离的求法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．