Question

已知直线l₁：5x-2y+3m（3m+1）=0和直线l₂：2x+6y-3m（9m+20）=0，求：
（1）两直线l₁、l₂交点的轨迹方程；
（2）m取何值时，直线l₁与l₂的交点到直线4x-3y-12=0的距离最短，最短距离是多少？

Answer 1

考点：轨迹方程,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）由l₁、l₂的方程组成方程组，解得交点的参数方程，消参数可得交点轨迹的普通方程；
（2）由点到直线的距离公式求出交点到直线4x-3y-12=0的距离d，则d是参数m的函数，利用配方法求最值．

解答： 解：（1）联立

5x-2y+3m(3m+1)=0   ① 2x+6y-3m(9m+20)=0  ②

，
①×3+②得，17x=51m，解得x=3m，代入①得，y=

9

2

m2+9m．
∴两直线l₁、l₂交点的轨迹方程为

x=3m y= 9 2 m2+9m

．
消去参数m得，y=

1

2

x2+3x，
∴两直线l₁、l₂交点的轨迹方程为y=

1

2

x2+3x；
（2）设两直线交点到直线4x-3y-12=0的距离为d，
则d=

|4•3m-3•( 9 2 m2+9m)-12|

42+(-3)2

=

3

10

|9m2+10m+8|
=

27

10

|(m+

5

9

)2+

47

81

|，
∴当m=-

5

9

时，距离d有最小值为：

27

10

×

47

81

=

47

30

．

点评：本题考查了利用消参数法求曲线的轨迹方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．