Question

已知曲线C1：

|x|

a

+

|y|

b

=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4

5

，曲线C₁的内切圆半径为

2 5

3

．记曲线C₂是以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．设AB是过椭圆C₂中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）若|MO|=m|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
（3）若M是l与椭圆C₂的交点，求△ABM的面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用曲线C1：

|x|

a

+

|y|

b

=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4

5

，曲线C₁的内切圆半径为

2 5

3

，求出a、b的值，待定系数法写出椭圆的标准方程．
（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的方程，用k表示|OA|的平方，
由|MO|²=m²|OA|²，得到|MO|²．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|² 的式子，消去k得到
M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．
（3）当k存在且k≠0时，由（2）得xA2=

20

4+5k2

，yA2=

20k2

4+5k2

，同理求出点M的横坐标的平方、纵坐标的平方，计算出AB的平方，计算出|MO|²，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最小值，再求出当k不存在及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．

解答： 解：（1）由题意得

2ab=4 5 ab a2+b2 = 2 5 3

，
又a＞b＞0，解得 a²=5，b²=4．
因此所求椭圆的标准方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=kx

得xA2=

20

4+5k2

，yA2=

20k2

4+5k2

，
所以|OA|²=xA2+yA2=

20(1+k2)

4+5k2

．
设M（x，y），由题意知|MO|=m|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=m²|OA|²，即x²+y²=m²•

20(1+k2)

4+5k2

．
因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-

x

k

，即k=-

x

y

，
因此x²+y²=m²•

20(1+k2)

4+5k2

=m²•

20(x2+y2)

4y2+5x2

．
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20m²，故

x2

4

+

y2

5

=m2．
又当k=0或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

5

=m2（m≠0）．
（3）当k存在且k≠0时，由（2）得xA2=

20

4+5k2

，yA2=

20k2

4+5k2

，
由直线l的方程为y=-

x

k

，代入椭圆方程可得xM2=

20k2

4+5k2

，yM2=

20

4+5k2

，
所以|OA|²=xA2+yA2=

20(1+k2)

4+5k2

，|AB|²=4|OA|²|AB|²=

80(1+k2)

4+5k2

，|OM|²=

20(1+k2)

5+4k2

．
由于S△AMB2=

1

4

|AB|²|OM|²=

400(1+k2)2

(4+5k2)(5+4k2)

≥

400(1+k2)2

( 4+5k2+5+4k2 2 )2

=(

40

9

)2，
当且仅当4+5k²=5+4k²时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S_△AMB=

40

9

．
当k=0，S_△AMB=

1

2

×2

5

×2=2

5

＞

40

9

．
当k不存在时，S_△AMB=

1

2

×

5

×4=2

5

＞

40

9

．
综上所述，△AMB的面积的最小值为

40

9

．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用．