Question

已知函数f（x）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）不等式f（x）≥1在区间（-∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）按照x≤1，1＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，去掉绝对值符号可解不等式，注意三种情况要对x的范围取并集；
（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，易知|x-2|≥1即x≤1或x≥3时，|x-2|+2|x-a|≥1对任意实数a恒成立，从而丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对任意实数x恒成立，只须丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对x∈（1，3）恒成立．按照x∈（1，2]，x∈（2，3）两种情况讨论去掉绝对值符号，分离出参数a后转化为函数的最值可得a的范围，最后取交集可得；

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-2|+2|x-1|，
①当x≤1时，f（x）=2-x+2（1-x）=-3x+4，
由f（x）＞3，得-3x+4＞3，解得x＜

1

3

，
∴x＜

1

3

；
②1＜x≤2时，f（x）=2-x+2（x-1）=x，
由f（x）＞3，得x＞3，
∴此时不等式无解；
③当x＞2时，f（x）=x-2+2（x-1）=3x-4，
由f（x）＞3，得3x-4＞3，解得x＞

7

3

，
∴x＞

7

3

；
综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，

1

3

）∪（

7

3

，+∞）．
（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，
当|x-2|≥1，即x≤1或x≥3时，显然|x-2|+2|x-a|≥1对任意实数a恒成立；
∴丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对任意实数x恒成立，只须丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对x∈（1，3）恒成立．
（1）若x∈（1，2]时，得2|x-a|≥x-1，即a≥

3x-1

2

，或a≤

x+1

2

，x∈（1，2]恒成立，则a≥

5

2

，或a≤1；
（2）若当x∈（2，3）时，得2|x-a|≥3-x，即a≥

x+3

2

，或a≤

3x-3

2

对x∈（2，3）恒成立，则a≥3，或a≤

3

2

；
对（1）（2）中a的范围取交集，得a≤1或a≥3．

点评：对于含有绝对值的题目，本身就是分类的，问题的提出已包含了分类的原因．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，在高考试题中占有重要的位置．