Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）取AD的中点G，连结GC，证明PA⊥CD，AC⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD、平面EAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），求出

n2

=(1 ， a-1 ， 

a

2

)是平面PCF的一个法向量，根据AE∥平面PCF，可得

AE

•

n2

=0，即(a-1)+

a

2

=0，从而可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD．…（1分）
取AD的中点G，连结GC，
因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，且AB=BC=1，
所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且CG=

1

2

AD，
所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（3分）
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．…（5分）

则A（0，0，0），C（1，1，0），E（0，1，1），P（0，0，2），
所以

AP

=(0 ， 0 ， 2)，

AC

=(1 ， 1 ， 0)，

AE

=(0 ， 1 ， 1)．
因为PA⊥平面ABCD，所以

AP

=(0 ， 0 ， 2)为平面ACD的一个法向量．    …（6分）
设平面EAC的法向量为

n1

=(x ， y ， z)，
由

n1

•

AC

=0，

n1

•

AE

=0得

x+y=0  y+z=0 ，

令x=1，则y=-1，z=1，
所以

n1

=(1 ， -1 ， 1)是平面EAC的一个法向量．      …（8分）
所以cos＜

n1

 ， 

AP

＞=

1×0+(-1)×0+1×2

12+(-1)2+12 •2

=

3

3

因为二面角E-AC-D为锐角，所以二面角E-AC-D的余弦值为

3

3

．     …（9分）
（Ⅲ）解：假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．

设F（a，0，0），则

CF

=(a-1 ， -1 ， 0)，

CP

=(-1 ， -1 ， 2)．
设平面PCF的法向量为

n2

=(x ， y ， z)，
由

n2

•

CF

=0，

n2

•

CP

=0得

(a-1)x-y=0  -x-y+2z=0 ，

令x=1，则y=a-1，z=

a

2

，
所以

n2

=(1 ， a-1 ， 

a

2

)是平面PCF的一个法向量．…（12分）
因为AE∥平面PCF，所以

AE

•

n2

=0，即(a-1)+

a

2

=0，…（13分）
解得a=

2

3

，
所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且AF=

2

3

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查线面平行，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．