Question

如图：三棱柱A₁B₁C₁-ABC，A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，AB=AC=1，A₁B=2，E是A₁B的中点．
（Ⅰ）若BC=

2

，求证：平面ACE⊥平面A₁AB；
（Ⅱ）若∠CAB=120°，求二面角A₁-AE-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CA⊥AB，A₁A⊥AC，由此得到CA⊥平面A₁AB，从而能够证明平面ACE⊥平面A₁AB．
（Ⅱ）以A为原点，AB为y轴正方向，过A且垂直于AB做x轴，正向AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-AE-C的平面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，
∵AB=AC=1，BC=

2

，∴CA⊥AB，
∵A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，AB∩AC=A，
∴A₁A⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴A₁A⊥AC，
∵AB∩A₁A=A，
∴CA⊥平面A₁AB，
∵CA?平面EAC，
∴平面ACE⊥平面A₁AB．
（Ⅱ）以A为原点，AB为y轴正方向，过A且垂直于AB做x轴，正向AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
∵AB=AC=1，A₁B=2，E是A₁B的中点，∠CAB=120°，
∴A1(0，0，

3

)，C（

3

2

，-

1

2

，0），B（0，1，0），E（0，

1

2

，

3

2

），
∴

AC

=（

3

2

，-

1

2

，0），

AE

=（0，

1

2

，

3

2

），
设平面ACE的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

AC

=0，

n

•

AE

=0，
∴

3 2 x- 1 2 y=0 1 2 y+ 3 2 z=0

，∴

n

=(1，

3

，-1)，
设二面角A₁-AE-C的平面角为θ，
∵平面A₁AB的一个法向量是

n1

=（1，0，0），
∴cosθ=|cos＜

n

，

n1

＞|=|

1

1• 5

|=

5

5

．
∴二面角A₁-AE-C的平面角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．