Question

若不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

＞k对一切实数x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式△＜0，即可得到结论．

解答： 解：∵x²+x+1＞0恒成立，
∴不等式恒成立，
则不等式等价为3x²+2x+2＞k（x²+x+1），
即（3-k）x²+（2-k）x+2-k＞0恒成立，
若k=3，则不等式等价为-x-1＞0，即x＜-1，不满足条件．
若k≠3，要使不等式恒成立，则满足

3-k＞0 △=(2-k)2-4(3-k)(2-k)＜0

，
即

k＜3 (k-2)(3k-10)＞0

，
∴

k＜3 k＞ 10 3 或k＜2

，
即k＜2．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意讨论二次项系数是否为0．