Question

设f（x）=

1

2

（1+x）（ax²+bx+c），g（x）=-e -x+

1

2

-|ln（x+1）|+k
（1）若f（x）的图象关于x=-1对称，且f（1）=2，求f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的f（x），讨论f（x）与g（x）的图象的交点个数．

Answer 1

考点：函数的零点,函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）的图象关于x=-1对称，可得f（x）为二次函数，a=0，且 b=c，故有f（x）=

1

2

（1+x）（bx+b）．再根据f（1）=2，求得b=1，可得f（x）的解析式．
（2）f（x）与g（x）的图象的交点个数，即

1

2

（x+1）²=-e-x+

1

2

-|ln（x+1）|+k 的解的个数，
即直线y=k和函数

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|的图象的交点个数．令h（x）=

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|，利用导数求得函数的h（x）的单调区间，可得函数h（x）的值域，可得直线y=k和h（x）的图象的交点个数．

解答： 解：（1）由于f（x）=

1

2

（1+x）（ax²+bx+c）的图象关于x=-1对称，
故f（x）为二次函数，且对称轴为x=-1，故有a=0，且 b=c，故有f（x）=

1

2

（1+x）（bx+b）．
再根据f（1）=2，求得b=1，故f（x）=

1

2

（x+1）²．
（2）f（x）与g（x）的图象的交点个数，即

1

2

（x+1）²=-e-x+

1

2

-|ln（x+1）|+k 的解的个数，
即k=

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|的解得个数．
即直线y=k和函数

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|的图象的交点个数．
令h（x）=

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|，
当x＞0时，ln（x+1）＞0，
∵h′（x）=（1+x）-e-x+

1

2

+

1

x+1

≥2+e-x+

1

2

＞0，
∴h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上是增函数．
当-1＜x≤0时，ln（x+1）≤0，h′（x）=（1+x）-e-x+

1

2

-

1

x+1

，
∵（x+1）-

1

x+1

＜0，e-x+

1

2

＞0，∴h′（x）＜0，
故h（x）在（-1，0]上是减函数．
∵h（0）=

1

2

+e

1

2

，当x趋于-1时，函数h（x）的值趋于正无穷大，
当x趋于正无穷大时，函数h（x）的值趋于正无穷大，
①故当k＜

1

2

+e

1

2

时，直线y=k和函数h（x）的图象无交点，函数f（x）与g（x）的图象无交点；
②当k=

1

2

+e

1

2

时，直线y=k和函数h（x）的图象有唯一交点，函数f（x）与g（x）的图象有一个交点；
③当k＞

1

2

+e

1

2

时，直线y=k和函数h（x）的图象有2个交点，函数f（x）与g（x）的图象有2个交点．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．