Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设

AP

=λ

PB

（λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求证：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C-A′B′-P的大小为90°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面A'PE的一个法向量

CE

=(0，

a

λ+1

，0)，证明

CB′

•

CE

=0，可得B'C∥平面A'PE；
（2）求出平面CA'B'、平面PA'B'的一个法向量，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．

解答： （1）证明：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则C（0，0，0），A（0，a，0），B（a，0，0）设P（x，y，0），
由

AP

=λ

PB

⇒（x，y-a，0）=λ（a-x，-y，0）⇒x=

λa

λ+1

，y=

a

λ+1

，
∴P(

λa

λ+1

，

a

λ+1

，0)，
从而E(0，

a

λ+1

，0)，F(

λa

λ+1

，0，0)，
于是A′(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，B′(

λa

λ+1

，0，

a

λ+1

)，
平面A'PE的一个法向量为

CE

=(0，

a

λ+1

，0)，
又

CB′

=(

λa

λ+1

，0，

a

λ+1

)，

CB′

•

CE

=0，从而B'C∥平面A'PE．
（2）解：由（1）知有：

CA′

=(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，

A′B′

=(

λa

λ+1

，-

a

λ+1

，

(1-λ)a

λ+1

)，

B′P

=(0，

a

λ+1

，-

a

λ+1

)．
设平面CA'B'的一个法向量为

m

=（x，y，-1），则

ay λ+1 - λa λ+1 =0 λax λ+1 - ay λ+1 - (1-λ)a λ+1 =0

，
∴可得平面CA'B'的一个法向量

m

=(

1

λ

，λ，-1)，
同理可得平面PA'B'的一个法向量

n

=(1，1，1)，
由

m

•

n

=0，即

1

λ

+λ-1=0，
又λ＞0，λ²-λ+1=0，由于△=-3＜0，
∴不存在正实数λ，使得二面角 C-A'B'-P的大小为90°．

点评：本题通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角得出二面角，证明线面平行是解题的关键．