Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值．
法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）
又∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∵BE和平面ABC所成的角为60°，
∴∠EBF=60°，
∵BE=2，∴EF=DO=

3

，…（4分）
∴四边形DEFO是平行四边形，
∴DE∥OF，
∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，
∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角．…（9分）
Rt△EFG中，FG=FB•sin30°=

1

2

，EF=

3

，EG=

13

2

．
∴cos∠EGF=

FG

EG

=

13

13

．
即二面角E-BC-A的余弦值为

13

13

．…（12分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
B（0，

3

，0），C（-1，0，0），E（0，

3

-1，

3

），
∴

BC

=（-1，-

3

，0），

BE

=（0，-1，

3

），
平面ABC的一个法向量为

n1

=(0，0，1)
设平面BCE的一个法向量为

n2

=(x，y，z)
则

n2 • BC =0 n2 • BE =0

，∴

-x- 3 y=0 -y- 3 z=0

，
∴

n2

=(-3，

3

，1)．…（9分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

13

13

，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
二面角E-BC-A的余弦值为

13

13

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．